0.   引　言

随着计算机和人工智能技术的不断发展，深度学习（deep learning, DL）在数据驱动方法中的应用和研究日益受到关注。DL作为一种特殊的数值计算方法，在求解复杂的非线性耦合微分方程问题时具有巨大的应用潜力，如求解计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）问题。DL能够预测具有合理精度的真实流场，而无需求解控制流动的偏微分方程（partial differential equations, PDEs）^[1]。然而，在实践中，DL模型通常使用数据流作为“黑盒”进行计算求解^[2]，并且计算过程缺乏对基础物理知识的应用。虽然DL模型可以实现较低的预测误差，但这往往依赖于大量已知数据，而这些数据的获取通常具有较大的难度。实际上，DL模型的计算结果并不一定能够满足其所模拟的系统的物理特性^[3]。因此，将一些已知的物理知识或者规律嵌入到DL框架中至关重要，这不仅可以获得更具物理意义的结果，而且可以更好地指导学习训练的过程^[4]。

Raissi等^[5-6]于2017年首次提出嵌入了物理知识的神经网络−物理信息神经网络（physics-informed neural network, PINN）。研究结果表明，PINN仅需要少量数据便可对偏微分方程进行精确求解，表现出极强的适用性。PINN也是流体力学问题的有效求解器，因为训练神经网络只需要非常少的标记数据集，如初始和边界条件以及控制方程^[7-8]。Laubscher等^[9]利用单一网络和分离网络的PINN架构，在二维（2D）矩形域内预测了加湿过程中干空气的速度和温度分布。结果表明，与单一网络PINN架构相比，分离网络PINN预测的损失函数值降低了62%。Arzani等^[10]使用PINN对病变动脉血管中的壁面剪切应力进行了定量研究。对于入口和出口边界条件未知的血液流动问题，PINN可利用少量测量点上的速度值求解反演问题来解决，为相关医学问题的研究提供了新的思路。陆至彬等^[11]使用PINN和传热系数正向温度反向法构建了分区耦合PINN建模策略，成功解决了真实物性下的共轭传热问题。结果表明，该策略在二维和三维模型中的固体温度预测结果与传统CFD软件模拟结果吻合良好，从而验证了其有效性。Lu等^[12]开展了基于PINN的流动问题拓扑优化研究，并指明PINN较传统方法更容易实现逆设计，进一步展现了PINN在新领域的应用潜力。

空气动力学领域的流动和传热问题往往更加复杂。刘霞等^[13]利用PINN直接逼近流场偏微分方程的解，以优化气动数据建模。然而，在处理复杂非线性偏微分方程时，传统PINN面临精度不足的挑战。为应对这一问题，该研究将PINN与CFD仿真结果相结合，通过调整损失函数来减小PINN输出与CFD值之间的偏差，进而提高了神经网络建模相对于传统方法的精度。实验证明，这种方法显著提升了PINN的气动数据建模性能。付军泉等^[14]提出了基于PINN的飞机气动参数辨识方法，可以直接辨识含待辨识参数的飞行动力学模型，从而减少数据需求、提高建模精度，并具有良好的泛化性。结果表明该方法在不同噪声条件下对飞行数据的辨识误差较小。在飞行器设计和性能评估中，准确计算气流速度和压力分布是关键任务。然而，这些分布通常无法通过直接测量获得，因此如何通过反演方法从有限的数据中推导出这些分布成为了一个重要挑战。作为解决这一复杂问题的前沿技术，神经网络方法，特别是PINN，提供了一种高效且灵活的途径。PINN将数据驱动方法与物理模型相结合，既能确保反演计算的高精度，又能有效降低对大量数据的需求，在空气动力学应用中展现出了巨大的潜力。

在前期的工作中，本文作者通过对控制方程导数的低阶化处理，提出了低阶导数物理信息神经网络（low order derivative physical information neural network, LPINN）^[15]。本文在前期LPINN的研究基础上，进一步探究其求解反演问题的能力。特别地，针对两个典型的流动及其传热问题，即泊肃叶流动及顶盖驱动方腔流动，分别对比了3种取点（实验观测）方案条件下反演求解流场、温度场、雷诺数及佩克来数的精度。此外探讨了噪声数据对反演问题求解精度的影响。

1.   控制方程及神经网络架构

1.1   控制方程

空气动力学主要研究可压缩气体。然而，可压缩流体力学方程较为复杂，求解需要较多计算资源及时间。在此背景下，为了快速验证神经网络的性能，使用不可压缩流体模型可以有效加速计算和验证。该模型在流体力学中占据经典地位，适用于液体流动、空气传热等特定问题。因此，本研究选用不可压缩流体控制方程，以便集中评估神经网络模型的性能，避免计算复杂性对结果的干扰。

为了使神经网络的总损失函数不同项具有统一的量纲以及量级，控制方程需以无量纲的形式给出。稳态不可压缩流动及传热的控制方程包括连续性方程、N-S方程以及对流-扩散方程，其无量纲形式如下所示：

上述方程中无量纲变量的定义为：${\boldsymbol{u}}={{\boldsymbol{u}}}^{*}/{u}_{0}^{*}$，$\nabla ={L}^{*}{\nabla }^{\mathrm{*}}，p={p}^{*}/\left(\rho {u}_{0}^{*2}\right)，\theta ={T}^{*}/{T}_{0}^{*}$，其中${L}^{*}$、${u}_{0}^{*}$和${T}_{0}^{*}$分别是长度、速度和温度的参考值，$\rho$是流体密度。带星标的变量为有量纲量。式中涉及的其他符号及变量包括：$\nabla$是哈密尔顿算子；${\nabla }^{2}$是拉普拉斯算子；雷诺数和佩克莱数的定义分别为$Re=\rho {u}_{0}^{*}{L}^{*}/\mu$和$Pe=\rho {C}_{p}{u}_{0}^{*}{L}^{*}/\lambda$，其中，$\mu$、${C}_{p}$、$\lambda$分别表示流体的动力黏度、比热容和热导率。本文考虑笛卡尔坐标中的二维问题，故速度矢量可表示为${\boldsymbol{u}}＝ (u,v)$。

式（2）和式（3）是流动和传热控制方程的常见形式，包含最高阶数为2的导数项，这会导致PINN训练过程中求导计算量变大，从而减慢反向传播、增加训练时间。

式（2）和（3）可以等效变换为如下低阶导数形式：

式中$\boldsymbol{I}$是单位张量，$\bar {\boldsymbol{\sigma }}$是柯西应力张量，$\boldsymbol{q}$是对流和导热造成的总热流密度。对于笛卡尔坐标中的二维问题，应力张量的分量为${\sigma }_{xx}、{\sigma }_{xy}\left({\sigma }_{yx}\right)$和${\sigma }_{yy}$；热流密度的分量为${q}_{x}$和${q}_{y}$；与式（2）和式（3）相比，式（4）和式（5）中导数的最高阶数为1。这种低阶导数形式的控制方程会极大简化PINN训练过程中的求导运算，进而大幅提升神经网络的训练速度^[15]。

1.2   LPINN框架

基于转化后的低阶导数控制方程，构建用于求解反演问题的LPINN框架，如图1所示。方程的求解过程用一个神经网络表示，其输入为时空变量，输出为方程的解。图1是由全连接神经网络（fully connected neural network, FCNN）和残差网络（residual network, RN）组成的LPINN。在FCNN中，位置坐标x和y代表输入，变量u、v、p、$\bar {\boldsymbol{\sigma }}$、$\theta$和q为输出。采用双曲正切函数作为激活函数。在RN中，与方程和数据点相关的误差定义为${e}_{n}$，其中下标n代表了不同的误差来源。构造RN时需要输出变量对输入变量的导数，其可以通过自动微分（automatic differentiation, AD）得到^[16]。AD算法在计算各阶时空导数时无需进行数值离散，并已经集成到主流的深度学习平台（如TensorFlow和PyTorch）。

图  1  用于求解反演问题的低阶导数物理信息神经网络（LPINN）示意图

Figure  1.  Schematic of the low-order derivative physics-informed neural network (LPINN) for solving inverse problems

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反演问题的求解中，面临的主要挑战是边界条件的未知性，仅能依赖计算区域内的部分实验观测数据推断。因此，流动和传热反演问题中使用的LPINN模型的损失函数由两部分组成：控制方程损失（${L}_{{\mathrm{e}}}$）和数据损失（${L}_{{\mathrm{d}}}$）。需要特别指出的是，为了提高反演精度，在LPINN模型的计算过程中，控制方程中的1/Re和1/Pe被分别替换为Re*和Pe*，并将它们的初始值设为0。流动和传热反演问题中LPINN的损失函数计算公式如式（6～8）所示：

式中：

其中：$n=m,u,v,\theta ,{q}_{x},{q}_{y},{\sigma }_{xx},{\sigma }_{xy},{\sigma }_{yy}$；${N}_{1}$为控制方程对应的训练数据点数；${e}_{n}$表示单个残差（训练）点上的误差；${\mathrm{avg}}(e_{\mathrm{d}})$代表单数据点误差$e_{\mathrm{d}}$的平均值；${N}_{ud}$为$x$分量速度的观测点数；${\hat{u}}^{i}$和${u}_{{\mathrm{d}}}^{i}$分别为LPINN预测和实验观测到的$i$点的$x$分量速度；${N}_{v{\mathrm{d}}}$为$y$分量速度观测点数；${\hat{v}}^{i}$和${v}_{{\mathrm{d}}}^{i}$分别为LPINN预测和实验观测到的$i$点$y$分量速度；${N}_{p{\mathrm{d}}}$为压力观测点数；${\hat{p}}^{i}$和${p}_{{\mathrm{d}}}^{i}$分别为LPINN预测和实验中观测到的$i$点压力；${N}_{\theta {\mathrm{d}}}$为温度观测点数；${\hat{\theta }}^{i}$和${\theta }_{{\mathrm{d}}}^{i}$分别为LPINN预测的和实验中观测到的$i$点的温度。

为了评估LPINN解决上述反演问题的精度，我们以有限元数值算法的结果作为基准，定义相对L₂误差为：

其中：$N$表示商业有限元软件COMSOL Multiphysics 5.5中的网格点总数，${V}_{n}$表示变量$V$在单个网格点上的有限元预测值（本研究称为CFD结果），${\hat{V}}_{n}$表示变量$V$在同一点上的LPINN预测值。

2.   结果与讨论

本研究利用商用CFD软件COMSOL Multiphysics 5.5进行数值模拟，并将其结果视为实验观测数据，即认为COMSOL模拟的数据是布置于计算区域内观测点处测量装置测得的实验数据。本研究考虑3种观测点选取方案，即随机取点、均匀取点和先验知识取点。通过对比3种不同观测点选取方案LPINN的反演结果，找出满足较高计算精度时所需观测点最少的取点方案。3种取点方案介绍如下：

1） 随机取点：利用Python科学计算库NumPy中自带的随机数抽取算法从计算区域内抽取一定数量的观测点，观测点在区域内无明显分布规律。

2） 均匀取点：该方式所取观测点均匀地分布于计算区域内，便于实际应用中布置测量装置。

3） 先验知识取点：根据积累的经验和知识，在对所研究问题影响较大（小）的区域选取大（少）量的观测点，从而在保证计算精度的同时最大限度地减少观测点的数量。

2.1   泊肃叶流动与传热反演问题

2.1.1   流场和温度场反演结果

本节应用图1的LPINN框架对二维稳态泊肃叶流动和传热反演问题进行数值模拟。计算区域为10h（长） × 1h（高）的矩形通道，如图2所示。方程无量纲化所采用的长度、速度和温度的参考值，即${L}^{*}$、${u}_{0}^{*}$和${T}_{0}^{*}$，分别取为通道高度、入口速度以及壁面温度。

图  2  二维泊肃叶流动和传热的计算区域

Figure  2.  Computational domain of the two-dimensional Poiseuille flow and heat transfer

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计算区域的相应边界条件如下。对于流动来说，入口AB处施加均一速度入口边界，即无量纲速度u = 1和v = 0；出口CD为零压力边界条件（p = 0）；壁面AD和BC为无滑移壁面（u = 0和v = 0）；雷诺数Re = 100。对于传热来说，入口AB处无量纲温度θ = 0；出口CD处温度梯度为零（$\partial \theta /\partial x=0$）；壁面AD和BC的无量纲温度θ = 1；佩克莱数Pe = 200。

首先考查观测点数量以及观测点的选取方案对LPINN求解泊肃叶流动和传热反演问题精确性的影响。设置LPINN中神经网络的大小为4 × 80（隐藏层数 × 每层神经元数），如此大小的神经网络经证实可以提供精确的预测结果。训练过程中残差点数控制为7000，优化策略采取二段式优化，即先采用学习率为5 × 10^–4的Adam算法进行10000步迭代优化，紧接着采用L-BFGS-B算法进行更精细的优化，直至损失函数值的相对变化低于双精度浮点数表示的最小正数，即达到收敛状态。LPINN使用不同观测点选取方案和不同数量观测点预测的流体x方向速度u和温度θ的相对L₂误差分别如图3（a）和（b）所示。由图可见，3种不同观测点选取方案的预测精度均随观测点数量的增多而提高。这主要是由于观测点数量增多之后，LPINN可以获得计算区域内更多的流场和温度场信息，从而能够更精确地预测计算区域内的流场和温度场。当观测点数量分别为50、100、150和200时，LPINN采用先验知识取点方案的预测精度最高，均匀取点方案次之，随机取点方案的预测精度最低。当观测点数为200时，先验知识取点计算得到的速度误差最低为1.03%，温度误差最低为1.01%。

图  3  3种取点方案下LPINN对泊肃叶流动与换热物理量的预测精度随观测点数量的变化

Figure  3.  Variation of the accuracy of LPINN-predicted physical quantities of Poiseuille flow and heat transfer with the number of observation points under three schemes of point selection

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此外，图3中还可以明显看出，LPINN采用先验知识取点方案选取50个观测点的预测结果比采用其他两种取点方案选取200个观测点的预测结果还要精确，说明采用先验知识取点方案选取观测点可以在观测点数量最少的情况下得到更高精度的反演结果。在观测点数量相同时，先验知识取点方案的反演结果精度最高，这主要是由于先验知识取点方案选取的观测点位置对泊肃叶流场和温度场的影响最大，可以给LPINN提供更关键的流场和温度场信息。此外，图3中结果还表明，当观测点数量增多至200个时，均匀取点和随机取点两种方案的预测误差也显著降低，3种方案的预测精度无明显差异。造成这种结果的主要原因是当观测点数量增多时，观测点覆盖整个计算区域，因此可以为LPINN提供足够的流场和温度场信息，从而提升预测精度。

为更直观比较3种取点方案对LPINN求解泊肃叶流动和传热反演问题精度的影响，对比了3种取点方案选取100个观测点时LPINN反演得到的截面速度和温度分布。3种取点方案中选取的100个观测点在计算区域内的分布情况如图4所示。相应的流体x方向速度u和温度θ的分布曲线对比结果如图5所示。由图5（a）和（b）可见，LPINN采用3种取点方案选取100个观测点反演得到的截面速度u和温度θ分布曲线均与CFD结果高度一致，说明3种取点方案选取100个观测点均可以为LPINN提供足够的场内物理信息。实际应用中，若实验设备充足（有足量测量速度、压力、温度的传感器），则可优先选用均匀取点方案，以便于布置测量装置；但若实验条件有限，测量装置不足时，则可利用先验知识取点方案布置测量装置，以保证预测精度的同时减少测量装置的数量。

图  4  针对泊肃叶流动与换热问题的3种取点方案中100个观测点的分布

Figure  4.  Distribution of 100 observation points in three schemes of point selection for the Poiseuille flow and heat transfer problem

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图  5  3种取点方案下LPINN预测的泊肃叶流动与换热问题中截面x = 10处的物理量分布

Figure  5.  LPINN-predicted physical variables of the Poiseuille flow and heat transfer problem at the cross-section of x = 10 under three schemes of point selection

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求解泊肃叶流动和传热的反演问题时，N-S方程中的雷诺数和能量方程中的佩克莱数通常是未知的，对应于实际应用中物性未知的情况。LPINN在预测计算区域内的流场和温度场的同时可以反演得到控制方程中未知的雷诺数和佩克莱数。LPINN采用3种取点方案选取100个观测点时得到的雷诺数和佩克莱数的反演结果如表1所示。由表可知，LPINN在采用3种取点方案时均能比较精确地反演预测控制方程中雷诺数和佩克莱数的数值。其中采用随机取点方案时对雷诺数的反演效果最好，相对误差低至2.54%；采用先验知识取点方案时对佩克莱数的反演效果最好，相对误差低至0.03%。但总体来说，3种取点方案对两个无量纲数的反演都达到了较高精度，可满足实际工程应用需求。

表  1  泊肃叶流动与换热问题中应用3种取点方案时LPINN反演雷诺数和佩克莱数的结果

Table  1.  LPINN-predicted inverse results of Reynolds and Péclet numbers in the Poiseuille flow and heat transfer problem under three schemes of point selection

取点方案	精确结果			预测结果			相对误差%
	Re	Pe		Re	Pe		Re	Pe
随机取点	100	200		97.46	202.73		2.54	1.36
均匀取点	100	200		96.80	202.09		3.20	1.05
先验知识取点	100	200		96.25	200.05		3.75	0.03

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2.1.2   噪声数据的影响

受实验条件和实验环境等不稳定因素的影响，实际测量的实验数据难免产生偏差。本节通过对CFD数据添加高斯噪声来模拟实际测量中的实验数据偏差，以检验LPINN对噪声数据的敏感度，测试LPINN的鲁棒性。

本节对均匀取点方案选取的100个观测点处的观测数据施加均值为0、标准差分别为0.01和0.02的高斯噪声，分别记为噪声数据1和2，并用上述两组噪声数据训练LPINN。图6（a）和（b）分别给出了截面x = 9.5处带有噪声的流体x方向速度u和温度θ数据的分布示意图。由图可见，含有两种不同水平噪声的速度和温度数据均与CFD提供的精确数据存在一定偏差。利用两种噪声数据集训练的LPINN和CFD预测的截面速度u和温度θ的分布曲线分别如图7（a）和（b）所示，LPINN反演得到的雷诺数和佩克莱数如表2所示。LPINN训练过程中的计算程序模型、网络大小、残差点数和优化策略同2.1.1。

图  6  泊肃叶流动与换热问题截面x = 9.5处具有不同噪声水平的物理量数据分布

Figure  6.  Distributions of the physical quantities with varying degrees of noise at the cross-section of x = 9.5 in the Poiseuille flow and heat transfer problem

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图  7  不同噪声水平数据训练的LPINN预测的泊肃叶流动与换热问题截面x = 10处的物理量分布

Figure  7.  Distributions of the physical quantities of the Poiseuille flow and heat transfer problem at the cross-section of x = 10 predicted by the LPINN trained with noise-containing data

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表  2  泊肃叶流动与换热问题中测量数据具有不同噪声水平时LPINN反演雷诺数和佩克莱数的结果

Table  2.  LPINN-predicted inverse results of Reynolds and Péclet numbers with noise-containing measurement data in the Poiseuille flow and heat transfer problem

数据类型	精确结果			预测结果			相对误差%
	Re	Pe		Re	Pe		Re	Pe
无噪声数据	100	200		96.80	202.09		3.20	1.05
噪声数据（标准差0.01）	100	200		97.66	202.33		2.34	1.16
噪声数据（标准差0.02）	100	200		99.70	202.51		0.30	1.26

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由图7可见，当数据集噪声的标准差为0.01时，LPINN预测的截面速度u和温度θ的分布曲线均与CFD结果高度一致；当数据集噪声的标准差为0.02时，LPINN的预测结果与CFD结果之间存在一定偏差，尤其是计算区域中心位置和靠近壁面区域，相对误差约为10%。尽管如此，LPINN预测的速度u和温度θ的变化趋势与CFD结果一致，说明LPINN即使是在实验数据含有一定水平噪声情况下仍能较为精确预测计算区域内的流场和温度场，即LPINN具有较强的鲁棒性。此外，表2表明，即使训练数据含有噪声，LPINN对控制方程中雷诺数和佩克莱数的反演结果也达到了较高的精度，再次印证了LPINN的高鲁棒性。

2.2   顶盖驱动方腔流动与传热反演问题

2.2.1   流场和温度场反演结果

本节应用LPINN对二维稳态顶盖驱动方腔流动和传热反演问题进行数值求解。顶盖驱动方腔流动与传热的计算区域如图8所示，是一个边长为c的正方形区域。控制方程无量纲化所采用的长度、速度和温度的参考值，即${L}^{*}$、${u}_{0}^{*}$和${T}_{0}^{*}$，分别取为区域边长、顶盖速度以及顶盖温度。

图  8  顶盖驱动方腔流动和传热问题的计算区域

Figure  8.  Computational domain of the lid-driven flow and heat transfer in a square cavity

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计算区域的相应边界条件如下所示。对于流动部分，顶盖AD处施加无量纲速度u = 1的滑移速度；其他壁面均为无滑移边界（u = 0和v = 0）；B点处施加压力约束（p = 0）；雷诺数Re = 10。对于传热部分，顶盖AD的无量纲温度θ = 1；其他壁面的无量纲温度θ = 0；佩克莱数Pe = 20。

图9（a）和（b）给出了不同观测点选取方案下LPINN预测流体速度和温度的精度随观测点数量的变化情况。选取的LPINN大小为6$\;\times\;$90（隐藏层数 × 每层神经元数），如此大小的LPINN经证实可以提供精确的预测结果。训练过程中残差点数控制为8000个，优化策略与2.1保持一致。由图9可见，在求解顶盖驱动方腔流动和传热的反演问题时，LPINN采用3种取点方案预测流体速度和温度的精度随观测点数量的增多而提高。此外，当观测点数量分别为50、100和150时，LPINN采用先验知识取点方案的预测精度最高，但当观测点数量增至200时，其他两种取点方案的预测精度亦明显提升，3种取点方案的预测精度趋于同一水平。总体而言，采用基于先验知识的观测点选择策略即使在观测点较少的情况下也能实现对速度和温度的高预测精度。还可以发现，观测点数量的增加对先验知识选点导致的相对误差影响较小。这可能是因为在当前的观测点数量下，系统已获取足够的信息。特别是当观测点数量达到100时，进一步增加观测点数量对计算精度的提升并不明显，表明100个观测点足以反映整个计算区域的物理场信息。

图  9  3种取点方案下LPINN预测的顶盖驱动流动与换热物理量精度随观测点数量的变化

Figure  9.  Variation of the accuracy of LPINN-predicted physical quantities of the lid-driven flow and heat transfer with the number of observation points under three schemes of point selection

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当观测点数为150时，先验知识取点计算得到的速度误差最低为4.90%，温度误差最低为2.45%。其他两种取点方案对速度和温度的预测精度各有优劣。因此，顶盖驱动流动和传热反演问题与泊肃叶流动和传热反演问题相同，应在观测数据点较少时优先选用先验知识取点方案。

为了更直观地比较LPINN采用不同取点方案的预测精度，本研究对比了3种取点方案选取100个观测点（分别见图10（a）、（b）和（c））时LPINN预测的速度和温度分布，并将其与CFD结果相比较，具体情况如图11所示。同时，表3中给出了LPINN采用3种取点方案反演得到的控制方程中雷诺数和佩克莱数的结果。

图  10  针对顶盖驱动流动与换热问题的3种取点方案中100个观测点的分布

Figure  10.  Distribution of 100 observation points in three schemes of point selection for the lid-driven flow and heat transfer problem

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表  3  顶盖驱动流动与换热问题中应用3种取点方案时LPINN反演雷诺数和佩克莱数的结果

Table  3.  LPINN-predicted inverse results of Reynolds number and Péclet numbers in the lid-driven flow and heat transfer problem under three schemes of point selection

取点方案	精确结果			预测结果			相对误差/%
	Re	Pe		Re	Pe		Re	Pe
随机取点	10	20		10.16	20.12		1.62	0.57
均匀取点	10	20		9.95	19.62		0.53	1.90
先验知识取点	10	20		0.96	20.19		0.41	0.94

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图  11  3种取点方案下LPINN预测的顶盖驱动流动与换热问题中截面x = 0.5处的物理量分布

Figure  11.  LPINN-predicted physical variables of the lid-driven flow and heat transfer problem at the cross-section of x = 0.5 under three schemes of point selection

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从图11（a）和（b）中可以看出，采用3种取点方案选取100个观测点时LPINN预测的截面x = 0.5处的速度和温度曲线均与CFD结果高度吻合，说明在求解顶盖驱动方腔流动和传热反演问题时，3种取点方案选取100个观测点均可以为LPINN提供足够的场内物理信息。由表3结果可以看出，LPINN在雷诺数和佩克莱数的反演中显示出与精确结果的高度一致性，误差较小。在采用先验知识取点方案时，雷诺数的反演准确率最高，相对误差为0.41%；相反，使用随机取点方案时，佩克莱数的反演准确率最高，其相对误差为0.57%。综合来看，这3种取点方案在两个无量纲数的反演上均表现出较高的精度，符合实际工程应用的需求。

2.2.2   噪声数据的影响

本节选取含有100个观测点的均匀取点方案来测试LPINN在求解顶盖驱动方腔流动和传热反演问题时的抗噪声性能。为了开展测试，对100个观测点处的观测数据均施加与2.1.2中相同水平的高斯噪声，同样记为噪声数据1和噪声数据2，对应的标准差分别为0.01和0.02。图12（a）和（b）分别给出了截面x = 0.5处带有噪声的速度和温度数据的分布示意图。这些噪声数据可以模拟实际实验中的测量误差。

图  12  顶盖驱动流动与换热问题截面x = 0.5处具有不同噪声水平的物理量数据分布

Figure  12.  Distributions of physical quantities with varying degrees of noise at the cross-section of x = 0.5 in the lid-driven flow heat transfer problem

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利用两种噪声数据集训练的LPINN和CFD预测的速度和温度分布曲线分别如图13（a）和（b）所示。LPINN对雷诺数和佩克莱数的反演结果如表4所示。训练过程中的计算程序模型、网络大小、残差点数和优化策略均与2.2.1中保持一致。由图13（a）可见，两种噪声数据集训练的LPINN预测的截面速度u的分布曲线均与CFD结果吻合良好；由图13（b）可见，当噪声数据集标准差为0.01时，LPINN预测的截面温度θ分布曲线与CFD结果高度一致，但当噪声标准差增加至0.02时，LPINN对方腔中心区域的温度轻微低估，相对误差约为5%。这说明在求解顶盖驱动方腔流动和传热反演问题时，LPINN同样对噪声数据不敏感，具有较强的鲁棒性。分析表4可知，在处理更复杂的顶盖驱动方腔流动与传热反演问题时，随着数据噪声水平的提高，LPINN在佩克莱数反演中的相对误差有所增加，达到11.23%。然而，这种误差水平仍处于工程应用可接受范围内。LPINN对雷诺数的反演结果始终保持极高的精度（小于1%）。综上，LPINN基于噪声数据对雷诺数和佩克莱数的反演再次证明其具有较强的鲁棒性。

图  13  不同噪声水平数据训练的LPINN预测的顶盖驱动流动与换热问题截面x = 0.5处的物理量分布

Figure  13.  Distributions of the physical quantities of the lid-driven flow and heat transfer problem at the cross-section of x = 0.5 predicted by the LPINN trained with noise-containing data

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表  4  顶盖驱动流动与换热问题中测量数据具有不同水平噪声时LPINN反演雷诺数和佩克莱数的结果

Table  4.  LPINN-predicted inverse results of Reynolds and Péclet numbers with noise-containing measurement data in the lid-driven flow heat transfer

数据类型	精确结果			预测结果			相对误差/%
	Re	Pe		Re	Pe		Re	Pe
无噪声数据	10	20		9.95	19.62		0.53	1.90
噪声数据（标准差0.01）	10	20		10.07	21.55		0.70	7.26
噪声数据（标准差0.02）	10	20		10.06	22.25		0.61	11.23

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3.   结　论

本文利用LPINN对空气动力学领域的典型反演问题（如流动和传热）进行了数值研究。具体地，研究以泊肃叶和顶盖驱动方腔流动和传热问题为例，采用3种不同取点方案从计算区域内抽取观测点，对这3种取点方案的预测精度和反演效果进行比较，从而确定最佳取点方案。此外，还研究了实验数据含有噪声条件下LPINN求解反演问题的鲁棒性。具体结论如下：

1） LPINN具有极强的求解流动和传热反演问题的能力，在边界条件未知的情况下，仅利用稀疏的观测数据便能精确预测计算区域内的流场和温度场；同时，LPINN还可较为精确地反演控制方程中的未知参数，如雷诺数和佩克莱数。

2） LPINN采用3种取点方案求解流动和传热反演问题的结果表明，先验知识取点方案的预测精度最高，特别是在观测点数量较少时，而随机取点和均匀取点两种方案各有优劣。LPINN采用先验知识取点方案对于泊肃叶流动和传热问题速度及温度的预测误差均可低至1%左右，对于顶盖驱动方腔流动和传热问题速度及温度的预测误差最低分别为5%和2.5%左右。

3） LPINN即使在测量数据含有一定水平高斯噪声的情况下仍可精确预测计算区域内的流场和温度场，并合理反演控制方程中未知的雷诺数和佩克莱数，这表明LPINN对噪声数据不敏感，鲁棒性较强。